Was ist ein sattelpunkt?

Ein Sattelpunkt ist ein mathematischer Begriff aus der Analysis, der eine besondere Art von Extremstelle eines Funktionsterms beschreibt.

Ein Sattelpunkt liegt vor, wenn die Funktionshöhe in alle Richtungen um den Punkt herum unverändert bleibt. Das heißt, dass sowohl die erste Ableitung in alle Richtungen verschwindet als auch die zweite Ableitung ein Maximum oder Minimum an diesem Punkt annimmt.

Mathematisch betrachtet hat ein Sattelpunkt die Eigenschaften, dass die partiellen Ableitungen in alle Richtungen gleich null sind und die Hesse-Matrix an diesem Punkt sowohl positive als auch negative Eigenwerte hat.

Grafisch gesehen ähnelt ein Sattelpunkt einer Sattelfläche, bei der die eine Krümmung nach oben und die andere nach unten zeigt. Auf einer Sattelfläche gibt es keinen eindeutigen Hoch- oder Tiefpunkt, sondern einen Übergangsbereich.

Sattelpunkte können in verschiedenen Anwendungsgebieten der Mathematik und Physik auftreten, zum Beispiel in der Optimierung, bei der Suche nach optimalen Lösungen, oder in der Untersuchung von Flusslinien in Vektorfeldern.

Ein berühmtes Beispiel für einen Sattelpunkt ist der Punkt (0,0) in der Funktion f(x, y) = x^2 - y^2. An diesem Punkt verschwinden beide partiellen Ableitungen, aber die Hesse-Matrix hat einen positiven und einen negativen Eigenwert, wodurch der Punkt ein Sattelpunkt ist.